લેખક: રાજેન્દ્ર દવે/ સી.એમ.નાગરાણી
લેખના પહેલા ભાગમાં આપણે કક્ષા વિષેની પ્રાથમિક સમજ મેળવી. લેખના આ ભાગમાં કક્ષા-વિજ્ઞાનમાં થોડા વધુ ઊતરવા વિચાર છે.
ભાગ-1માં આપણે બે-એક વસ્તુ શીખ્યા. સૌ પ્રથમ, વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી સમક્ષિતિજ ગતિનું મુલ્ય કક્ષાના સ્થાન પરના ગુરુત્વાકર્ષણ પર આધાર રાખે છે, અને બીજું, વર્તુળાકાર કક્ષા માટે જરૂરી ગતિ કરતા વધુ અથવા ઓછી સમક્ષિતિજ ગતિ લંબગોળ કક્ષામાં પરિણમે છે.
કક્ષા જે કે પ્રકારનો લંબગોળ આકાર બનાવે, તે એક ખાસ પ્રકારનો સંતુલિત લંબગોળ હોય છે જેને Ellipse- ઇલિપ્સ, (ગુજરાતીમાં દીર્ઘવર્તુળ) કહે છે. આપણે જાણીએ છીએ કે વર્તુળાકાર કક્ષા પરના દરેક બિંદુનું કક્ષાના કેન્દ્રથી અંતર એક સમાન હોય છે. ઇલિપ્સ આકારની કક્ષા માટે, કેન્દ્ર ઉપરાંત બે ખાસ બિંદુ હોય છે, જેને ઇલિપ્સ ના ફોકસ (focus) કહે છે. ઇલિપ્સ પરના દરેક બિંદુ માટે, એના કેન્દ્રથી નહીં, પણ બે ફોકસથી અંતરનો સરવાળો એક સમાન હોય છે (અંગ્રેજીમાં “ફોકસ”નું બહુવચન ખરેખર તો “ફોસાઇ” (foci) થાય, પણ આ બાબતમાં આપણે થોડી છૂટછાટ લઇશું!). વર્તુળ તથા ઇલિપ્સ બન્ને એક ખાસ પ્રકારના વક્ર (curve- કર્વ)ના વર્ગના સભ્ય છે, જે શંકુને (થોડી વધુ ચોકસાઈથી કહીએ તો, જેનો પાયો ગોળ હોય, અને જેની ધરી પાયાને લંબ હોય, એવા “લંબવૃત્તીય” (Right Circular Cone -રાઇટ સર્ક્યુલર કોન) શંકુને જુદી-જુદી રીતે છેદવાથી મળે છે. વક્રના આ પ્રકારને અંગ્રેજીમાં કોનિક સેક્શન -conic section- (શંકુ અનુચ્છેદ?) કહે છે. વર્તુળ અને ઇલિપ્સ ઉપરાંત Parabola-પેરાબોલા (પરવલય) અને Hyperbola- હાયપરબોલા (અધિકોત્સાર?) પણ કોનિક સેક્શન પ્રકારના વક્ર છે. આપણે આગળ જોઈશું કે કક્ષાનો આકાર પેરાબોલા અને હાયપરબોલા પણ હોઇ શકે. આમ, માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર નીચે ગતિ કરતા કોઇ પણ પિંડનો પથ હંમેશા કોઇક કોનિક સેક્શન વક્રના આકારનો જ હોય છે.
ઇલિપ્સ આકારની કક્ષાની વાત આગળ ચલાવતા, એના બે ફોકસ જેમ-જેમ એકબીજાથી નજીક આવે, એમ-એમ ઇલિપ્સનો આકાર વર્તુળ જેવો થતો જાય. છેવટે, જ્યારે બન્ને ફોકસ એક જ બિંદુમાં સમાઇ જાય, ત્યારે એ બિંદુ, આપણા ઇલિપ્સનું- જે હવે સંપૂર્ણ પણે વર્તુળાકાર બની ગયું છે- એનું કેન્દ્ર બની જાય! આમ વર્તુળ એક ખાસ જાતનો ઇલિપ્સ જ છે, જેના બે ફોકસ વચ્ચેનું અંતર શૂન્ય હોય. આ દ્રષ્ટીએ પહેલા ભાગમાં આપણે જેની ચર્ચા કરી એ, વર્તુળાકાર અને ઇલિપ્સ એમ બેઉ પ્રકારની કક્ષા, ખરેખર તો માત્ર એક જ, ઇલિપ્સ પ્રકારની છે.
આપણે જોયું એ પ્રમાણે કક્ષામાં ભ્રમણ માટે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ જવાબદાર છે. પરંતુ રસપ્રદ વાત એ છે કે, લંબગોળ કક્ષા વિષેની શોધ, ન્યુટને પોતાનો ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ શોધ્યો એ પહેલા જ થઇ ચૂકી હતી. સોળમી શતાબ્દીના અંત ભાગમાં, જ્યારે હજુ દૂરબીન પણ શોધાયું ન હતું, ત્યારે ડેન્માર્કના ખગોળશાસ્રી ટીકો બ્રાહે (Tycho Brahe) એ વર્ષો સુધી, નરી આંખે, આકાશમાં બીજા તારાની સાપેક્ષમાં ગ્રહોની સ્થિતિનું ચોકસાઇ પૂર્વક અવલોકન કર્યું. જર્મન ગણિતશાસ્ત્રી યોહાનીસ કેપ્લર (Johannes Kepler) બ્રાહેના મદદનીશ હતા. બ્રાહેના મૃત્યુ બાદ તેમણે કરેલા મંગળ ગ્રહના અવલોકનનું કેપ્લરે બારીકાઈથી વિશ્લેષણ કર્યું, અને ગ્રહોના સૂર્ય આસપાસ ભ્રમણ વિષેના ત્રણ નિયમ તારવી કાઢ્યા.
કેપ્લરના પહેલા નિયમ અનુસાર, બધા ગ્રહ સૂર્યની આસપાસ ઇલિપ્સ આકારની કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે. સૂર્ય આવી કક્ષાના એક ફોકસ પર હોય છે. વર્તુળ એ ઇલિપ્સ નો જ પેટા-પ્રકાર હોવાથી, ગ્રહની કક્ષા વર્તુળાકાર પણ હોઇ શકે.
સ્વાભાવિક છે કે ઇલિપ્સ આકારની કક્ષામાં ગ્રહનું સૂર્યથી અંતર બદલાતું રહે. કેપ્લરનો બીજો નિયમ કક્ષામાં ગ્રહની તત્કાલીન ઝડપને તેના જે-તે સમયે સૂર્યથી અંતર સાથે સાંકળે છે. આ નિયમ અનુસાર કક્ષાના દરેક બિંદુ પર ગ્રહની ઝડપ એવી હોય કે સૂર્યને તેની સાથે જોડતી રેખા (જેને આપણે એક પ્રકારની “ત્રિજ્યા” કહી શકીએ), સરખા સમયગાળામાં કક્ષાના વૃત્તનો સરખો ત્રિજ્યા-ખંડ, સરખું ક્ષેત્રફળ આવરી લે. અર્થાત “ત્રિજ્યા”ની ક્ષેત્રફળ આંતરવાની ઝડપ, આખીય કક્ષામાં એક સરખી રહે. હવે કોઇ પણ સમય ગાળામાં “ત્રિજ્યા”એ આવરેલું ક્ષેત્રફળ, ત્રિજ્યા”ની લંબાઇનો વર્ગ અને જે-તે સમય ગાળામાં એણે આવરી લીધેલા ખૂણાના ગુણાકાર ને સપ્રમાણમાં હશે. કેપ્લરના બીજા નિયમ અનુસાર, કક્ષા પરના કોઇ પણ બિંદુ પર સરખા સમયગાળા માટે, આ ગુણાકાર સમાન રહે છે. કક્ષામાં ગ્રહ જ્યારે સૂર્યની નજીક હોય ત્યારે, “ત્રિજ્યા” ટૂંકી હોય અને તેથી ગુણાકારની કિંમત જાળવી રાખવા મોટો ખૂણો આવરી લેવો પડે, તેથી તે સમયે કક્ષામાં ગ્રહની વધારે ઝડપ જરૂરી છે. બીજી તરફ, જ્યારે ગ્રહ સૂર્યથી દૂર હોય ત્યારે “ત્રિજ્યા” લાંબી હોવાને કારણે ગ્રહની પ્રમાણમાં ઓછી ઝડપની જરૂર રહે. આ રીતે કેપ્લરનો બીજો નિયમ, લેખના પહેલા ભાગમાં આપણે લંબગોળ કક્ષામાં ગતિ બાબતે જે તારણ પર પહોંચ્યા હતા, તેનું સમર્થન કરે છે.
કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ ગ્રહના સૂર્યથી અંતર, અને ગ્રહને પોતાની કક્ષામાં એક પરિભ્રમણ માટે લાગતા સમય વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે. આ નિયમ અનુસાર ગ્રહને પોતાની કક્ષમાં એક પરિભ્રમણ માટે લાગતા સમયનો વર્ગ, ગ્રહના સૂર્યથી અંતરના ઘનના સપ્રમાણમાં હોય છે. આ નિયમે પૃથ્વીથી સૂર્યનું અંતર શોધવાના પ્રયત્નમાં અગત્યનો ભાગ ભજવ્યો હતો. એ રસપ્રદ વિષય પર ચર્ચા ફરી કોઇક વાર!
સૂર્યની આસપાસ ગ્રહોની કક્ષા માટે શોધાયેલ કેપ્લરના નિયમ કોઇ પણ ભારે પિંડની આસપાસ ભ્રમણ કરતા પ્રમાણમાં હલકા પિંડની – જેવી કે પૃથ્વીની આસપાસ ચંદ્રની કક્ષા- ઇલિપ્સ આકારની (અને વર્તુળાકાર) કક્ષા માટે લાગુ પડે છે. આપણે ઉપર જોયું એ પ્રમાણે બીજા બે, પેરાબોલા અને હાયપરબોલા આકારની કક્ષા પણ સંભવ છે. ઉપરાંત, જ્યાં બન્ને પિંડ વજનમાં લગભગ સરખા હોય, તેવી પરિસ્થિતિમાં પણ કક્ષાની ચર્ચા થોડી અલગ રીતે કરવી પડે. આ બન્ને બાબત વિષે લેખના આગળના ભાગમાં વાત કરવાનો વિચાર છે.
કોઇ પણ સમયે અંતરિક્ષ-યાન, ગ્રહ, અથવા એવા બીજા કોઇ પિંડની અવકાશમાં સ્થિતિની ગણતરી અને આગાહી કરવી એ કક્ષા-વિજ્ઞાનના અભ્યાસનો એક મહત્વનો ઉદ્દેશ છે. કક્ષામાં ઘુમતા પિંડની સ્થિતિ નક્કી કરવા માટે સૌ પ્રથમ, પિંડની કક્ષાનું કદ,આકાર, અને અવકાશમાં કક્ષાના સ્થાન, અને સ્થિતિ નક્કી કરવા પડે, અને ત્યાર બાદ જે-તે કક્ષામાં પિંડનું સ્થાન.
વર્તુળનો આકાર તો સંપૂર્ણ પણે સંમિત (symmetric-સીમેટ્રિક) છે, માટે એનું કદ નક્કી કરવા માટે માત્ર એક જ પરિમાણ (parameter- પેરામીટર) -ત્રિજ્યા- ની જાણકારી પૂરતી છે. બીજી તરફ ઇલિપ્સ, અસમાન લંબાઇ ધરાવતી અને એકબીજાને કાટખૂણે દુભાગતી બે ધરી વાળો વક્ર છે. ઇલિપ્સની લાંબી ધરીને મુખ્ય અથવા major -મેજર ધરી અને ટૂંકીને ગૌણ અથવા minor -માયનોર ધરી કહે છે. બે ધરી એકબીજાને ઇલિપ્સના કેન્દ્રમાં છેદે છે. ઇલિપ્સના બે ફોકસ, એની મુખ્ય ધરી પર, કેન્દ્રની બે બાજુ, સમાન અંતરે આવેલા હોય છે. ઇલિપ્સના કદ અને આકાર નિરૂપવાનો એક વિકલ્પ એની બે ધરીની અર્ધી લંબાઇ (અર્ધ-મુખ્ય ધરી અને અર્ધ-ગૌણ ધરી) દ્વારા છે. બીજો, વધુ પ્રચલિત વિકલ્પ, ઇલિપ્સની અર્ધ-મુખ્ય ધરી અને કેન્દ્રથી ફોકસના અંતર અને મુખ્ય ધરીની અર્ધી લંબાઇનો ગુણોત્તર વાપરવાનો છે. આ ગુણોત્તરને અંગ્રેજીમાં ઇલિપ્સની “eccentricity”- એસેન્ટ્રીસીટી કહે છે. એસેન્ટ્રીસીટીનો સીધો શબ્દાર્થ “વિચિત્રતા” અથવા “વિલક્ષણતા” થાય. ઇલિપ્સની એસેન્ટ્રીસીટી પણ એને વર્તુળથી અલગ પાડતી વિલક્ષણતા જ છે. ઇલિપ્સની એસેન્ટ્રીસીટી જેટલી વધુ, ઇલિપ્સ એટલો વધુ લંબગોળ, વર્તુળથી એટલો અલગ. બીજી તરફ, વર્તુળ એટલે શૂન્ય એસેન્ટ્રીસીટી વાળો ઇલિપ્સ! ઇલિપ્સની અર્ધ-મુખ્ય ધરી કેપ્લરના ત્રીજા નિયમમાં ગ્રહનું સૂર્યથી અંતર પણ દર્શાવા માટે પણ વપરાય છે.
કક્ષાના કદ અને આકાર નક્કી કર્યા બાદ સમય છે જે સમતલ (plane- પ્લેન) માં કક્ષા સમાયેલી હોય, એ સમતલનું ત્રણ પરિમાણ (dimension- ડાયમેન્શન) વાળા અવકાશમાં સ્થાન તેમજ સ્થિતિ દર્શાવાની રીતની ચર્ચા કરવાનો. આગળના એક લેખમાં આપણે ગ્રહ, તારા, સૂર્ય અને ચંદ્ર જેવા પિંડના સ્થાન પૃથ્વીના આકાશમાં દર્શાવાની RA અને ડેક્લીનેશન પદ્ધતિ વિષે વાત કરી હતી. આ પદ્ધતિનો ઉપયોગ પૃથ્વી ફરતી કક્ષાનું સ્થાન તથા સ્થિતિ દર્શાવવા પણ કરી શકાય.
પૃથ્વી ફરતી કક્ષા આકાશી વિષુવવૃત્તને જે બે બિંદુમાં છેદે, તેમને કક્ષાના નોડ (node) કહે છે. આ રીતે કક્ષામાં ભ્રમણ કરતો પિંડ એક પરિભ્રમણમાં જ્યારે બે નોડ પર આવે, ત્યારે તે આકાશી વિષુવવૃત્ત પરથી પસાર થતો દેખાય છે. એક નોડ પર દક્ષિણથી ઉત્તર તરફ જતા અને બીજી નોડ પર ઉત્તરથી દક્ષિણ તરફ. પહેલી નોડને “એસેન્ડીંગ” (ascending), અર્થાત્ “ઉપર ચડતી” નોડ અને બીજીને “ડીસેન્ડીંગ” (descending) અર્થાત્ “નીચે ઊતરતી” નોડ કહે છે. એસેન્ડીંગ નોડનું RA – એનું વસંત સંપાતથી કોણીય અંતર (જુઓ આગળનો લેખ) પૃથ્વી ફરતી કક્ષાની સ્થિતિ દર્શાવવા માટેનું એક અગત્યનું પરિમાણ છે. આવું બીજું પરિમાણ કક્ષાના સમતલ અને આકાશી વિષુવવૃત્તના સમતલ વચ્ચે બનતો ખૂણો છે, જેને કક્ષાનું ઇન્ક્લીનેશન (inclination) કહે છે. ઇન્ક્લીનેશન અને એસેન્ડીંગ નોડનું RA આ બે પરિમાણ- પેરામીટર- અવકાશમાં કક્ષાના સમતલનું સ્થાન નિશ્ચિત કરે છે. હવે કક્ષાના સમતલમાં લંબગોળ કક્ષાનું દિશામાન અથવા ઓરીએન્ટેશન (orientation) નક્કી કરવાનું અને ભ્રમણ કરતા પિંડનું કક્ષાના ઇલિપ્સમાં સ્થાન નક્કી કરવાનું બાકી રહે છે.
લેખના પ્રથમ ભાગમાં આપણે કક્ષામાં પૃથ્વીથી સૌથી નજીકના બિંદુ પેરીજી (Perigee) બાબત ચર્ચા કરી હતી. કક્ષાની એસેન્ડીંગ નોડ અને તેની પેરીજી વચ્ચેનું કોણીય અંતર, જે “આર્ગ્યુમેન્ટ ઓફ પેરીજી” (Argument of Perigee) તરીકે ઓળખાય છે, તેનો ઉપયોગ કક્ષાના સમતલમાં ઇલિપ્સનું દિશામાન દર્શાવવા માટે થાય છે. છેલ્લે, કક્ષામાં પિંડની પોતાની સ્થિતિ પેરીજીના સાપેક્ષમાં કોણીય અંતર તરીકે દર્શાવાય છે, જેને ટ્રુ એનોમલી (true anomaly) કહે છે.
ઉપરની લાંબી ચર્ચાનો સારાંશ નીચે મુજબ કાઢી શકાય:
- માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર નીચે ભ્રમણ કરતા પિંડનો પથ (કક્ષા) કોનિક સેક્શન, આકારનો હોય છે.
- કેપ્લરના ત્રણ નિયમ:
- ગ્રહો સૂર્યની આસપાસ, જેના એક ફોકસ પર સૂર્ય હોય, એવા ઇલિપ્સ આકારની કક્ષામાં ભ્રમણ કરે છે.
- કક્ષામાં ગ્રહોની ગતિ એવી રહે, કે જેથી તેને સૂર્ય સાથે જોડતી રેખા સરખા સમયમાં સરખું ક્ષેત્ર આંતરે.
- ગ્રહને સૂર્યની આસપાસ એક ભ્રમણ માટે લાગતા સમયનો વર્ગ, તેના સૂર્યથી અંતરના ઘનના સપ્રમાણમાં હોય છે.
- કેપ્લરના નિયમ માત્ર ગ્રહ જ નહીં, પણ કોઇ પણ ભારે પિંડની આસપાસ ભ્રમણ કરતા હલકા પિંડની કક્ષા માટે પણ લાગુ પડે છે.
- કક્ષામાં આકાશી પિંડની ત્રિપરિમાણીય સ્થિતિ છ પરિમાણ- પેરામિટર- વડે દર્શાવાય છે:
- સૌ પ્રથમ, કક્ષાના કદ તથા આકાર તેની મુખ્ય ધરીની અર્ધ-લંબાઇ અને એસેન્ટ્રીસીટી (કેન્દ્રથી ફોકસનું અંતર અને અર્ધ-મુખ્ય ધરીનો ગુણોત્તર) એ બે પેરામિટર વડે દર્શાવાય. (વર્તુળ એક ખાસ પ્રકારનો ઇલિપ્સ છે, જેની એસેન્ટ્રીસીટી શૂન્ય હોય)
- બીજા બે પેરામિટર : ઇન્ક્લીનેશન, અને એસેન્ડીંગ નોડનું RA, ત્રણ પરિમાણ વાળા અવકાશમાં કક્ષાના સમતલની સ્થિતિ અને દિશા દર્શાવે છે.
- છેલ્લા બે પેરામિટર : આર્ગ્યુમેન્ટ ઓફ પેરીજી અને ટ્રુ એનોમલી કક્ષાના સમતલમાં ઇલિપ્સનું ઓરીએન્ટેશન- તેની દિશા, અને જે-તે સમયે કક્ષામાં પિંડનું સ્થાન દર્શાવે છે.
વિષયની જટિલતા અને એને સમજાવવાની અમારી મર્યાદાને કારણે લેખના આ ભાગ માટે વાચક મિત્રોની અનેક ટીકા-ટિપ્પણી અપેક્ષિત છે.
પ્રતિશાદ આપો